OPÉRATEURS DE SUPERPOSITION SUR QUELQUES ESPACES FONCTIONNELS ET APPLICATION AUX PROBLÈMES ELLIPTIQUES

Abstract

Dans ce m´emoire on s’int´eresse `a ´etudier les propri´et´es de quelques op´erateurs non lin´eaires agissant sur les espaces de Lebesgue et les espaces de Sobolev, `a savoir les op´erateurs de superposition ” Nemytskii” Cette classe d’op´erateur admet des propri´et´es remarquables, l’une de ces propri´et´e est le fait que si un tel op´erateur agit d’un espace `a un autre alors la fonction d´efinissant cet op´erateur doit saisfaire une condition de type croissance bien d´efinie. Comme application on va trait´e deux types de probl`eme elliptique quasi-lin´eaire. Le premier probl`eme fait intervenir un terme sous lin´eaire en gradient et dans ce cas nous d´emontrons l’existence en utilisant l’alternative de Leray Schauder, de plus en utilisant un principe de comparaison nous obtenons l’unicit´e de cette solution. Dans le deuxi`eme la non lin´earit´e est sous quadratique en gradient, et pour voir l’existence d’une solution en appliquant le th´eor`eme du point fixe de Schauder, o`u nous d´emontrons l’existence d’un exposant critique la o`u notre approche n’est plus applicable.