La dichotomie exponentielle et applications

Abstract

L’ une classe d’équation différentielle objectif de ce travail est de présenter des résultats d’existence des solutions pour : (X X0((tt 0) = ) =A X(0t)[X(t)] + B(t) (1) avec A(t) ∈ M n(Rn), B(t) ∈ Rn, t ∈ R La dichotomie exponentielle est l’une des propriétés asymptotiques fondamentales des solutions du l’équation différentielle (1). Il a ses origines dans l’œvre d’O.Perron dans son ouvrage classique[10] et a été étudié avec beaucoup d’emphases au cours des soixante dernière années par de nombreux auteurs, [8][9][11][12][13][14], au cours des dernières années, plusieurs auteurs ont attiré beaucoup d’attention sur l’étude de l’existence de solutions périodiques, presque périodiques à l’équation (1), en utilisant la dichotomie exponentielle. Ce mémoire est composé de cinq chapitres. Dans le premier chapitre, nous avons rappelé les notions classiques en analyse fonctionnelle et quelques théorèmes du point fixe avec des propriétés du semi-groupes servant comme outils pour aborder ce manuscrit (voir [1][2][3][4][5][6][7]). Dans le deuxième chapitre , nous avons défini la notion du résolvante qui repré- sente en quelque sort la notion de semi-groupes dans un espace de dimension fini et ses propriétés, en suite nous avons défini la notion de dichotomie exponentielle et ses propriétés. Dans le troisième chapitre, on étudié une propriété primordiale de la dichotomie TABLE DES MATIÈRES 3 exponentielle, à savoir la perturbation de l’équation différentielle correspondante on s’avère que si l’équation est perturbée par une perturbation linéaire bornée B(t) c’est-à-dire sup |B(t)|t∈R∗ existe, donc on démontre que la dichotomie correspondante à l’équation perturbée est proche de l’ancienne. Dans le chapitre quatre on détermine la relation entre la fonction de Lyapunov qu’est exactement un outil standard dans la théorie de la stabilité et la dichotomie exponentielle. Dans le chapitre cinq on définit une application sur la dichotomie exponentielle dans l’espace Cb et L .