L2 continuité des opérateurs de Weyl

Abstract

La quantification est la th´eorie math´ematique qui a pour but d’essayer de construire un morphisme entre le monde classique et le monde quantique. Plus pr´ecis´ement la quantification est le passage du m´ecanique classique au quantique et l’op´eration inverse est qualifi´ee de limite semiclassique. Par exemple, le moment cin´etique d’un ´electron li´ee `a un atome ou mol´ecule est quantifi´e. Pas longtemps apr`es l’invention de la m´ecanique quantique Herman Weyl a introduit en 1928 une nouvelle quantification qui permet d’associer un op´erateur Wσ agissant sur Rn `a une fonction σ qui est appel´ee symbole de Wσ d´efinie sur l’espace de phase R2n. Une des premi`eres questions `a traiter par Weyl est celle du caract`ere auto-adjoint. Un op´erateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert est par d´efinition l’observable de la m´ecanique quantique. De nos jours la th´eorie des op´erateurs pseudo-diff´erentiels est devenue un outil d’analyse tr`es puissant, en particulier en ´equations aux d´eriv´ees partielles, en analyse sur les vari´et´es et mˆ eme en g´eom´etrie alg´ebrique complexe. A partir de ces consid´erations g´en´erales, nos travaux expos´es dans ce m´emoire abordent essentiellement le calcul de Weyl. D´ecrivons un peu plus pr´ecis´ement les r´esultats que nous avons ´etabli.