Sur les séries de Dirichlet et fonctions arithmétique

Abstract

Une fonctionarithmétiqueestuneapplicationdéfiniede N dans Celle estditemultiplicative si etseulementsi f(1) =1 et f(nm) = f(n)f(m) avecnetmsontpremiersentreeux,etelle est ditecomplétementmultiplicativesi f(nm) = f(n)f(m) pourtoutmetndans N ; de plus elle estditespécialementmultiplicativesi f est laconvolutiondeDirichletdedeuxfonctions complétementmultiplicatives. On appellefonctionarithmétiquededeuxvariablestouteapplicationdéfiniede N ; dans C: Pour toute fonctionarithmétiquededeuxvariables f2; on pose L(f2; s1; s2) = X+1 n1;n2=1 f2(n1; n2) ns1 1 ns2 2 ; s1; s2 2 C: La fonction L(f2; s1; s2) est appeléelasériedeDirichletmultipleassociéeà fr: Il estconnuque D(f2; s1) est définiecommeproduitinfinisurlesnombrespremiersdansson domaine deconvergenceabsolue D(f2; s1) = Y p :( X n>0 f2(ps1 ) pns1 ) (Euler1737): Dans cettemémoire,ongénéraliseleproduiteulérienàdespartiesmultiplicativesde N où une partie multiplicative A est définiepar:1 2 A et (8n;m 2 N ;nm 2 A () n 2 N ^ m 2 A): Le produitEulériendevient D(f2; s1) = Y p2A (1 􀀀 f2(p) ps1 )􀀀1 avec f1 est complètementmultiplicative.Aussi,onconsidèredeDirichletmultiplesdéfiniepar D(f2; s1; s2) = X+1 n1;n2=1 (n1;n2)=1 f2(n1; n2) ns1 1 ns2 2 ; où f2(n1; n2) = f(n1)f(n2) et f est unefonctionarithmétiquecomplètementmultiplicativeou spécialementmultiplicative.EnutilesantleproduitEulériengénéralisé,onobtientdesformuls explicites pourlesséries. D(f2; s1; s2) exprimées parlafonction & de Riemannetdesproduits infinis surlesnombrespremiers.