Notions sur les équations aux dérivées partielles

Abstract

Les équations aux dérivées partielles, qui seront notées en abrégé "EDP" dans la suite, constituant une branche importante des mathématiques appliquées. Elles expriment sous forme d'égalités des relations que doivent satisfaire les dérivées partielles d'une certaine fonction inconnue u de plusieurs variables a n de décrire un phénomène physique et pour satisfaire une propriété prescrite. Nous avons l'habitude de classer les équations aux dérivées partielles en trois grandes classes fondamentales d'équation : elliptique,parabolique et l'équation hyperbolique La physique, la biologie et les sciences pour l'ingénieur nécessitant de savoir résoudre une grande variétés des équations di érentielles aux dérivées partielles. La modélisation d'un problème réel utilise les lois de la physique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme, acoustique, etc. ), ces lois sont, généralement, écrites sous la forme de bilans qui se traduisent mathématiquement par des Équations Di érentielles Ordinaires ou par des Équations aux Dérivées Partielles. Les Équations aux dérivées partielles interviennent aussi dans beaucoup d'autres domaines : en chimie pour modéliser les réactions, en Économie pour étudier le comportement des marchés et en nance pour étudier les produits dérivées (options et obligations). Notre travail est divisé en plusieurs chapitres. Dans le premier chapitre, on présente un rappel sur l'analyse vectorielle et classi cations des équations aux Dérivées Partielles. Ensuite, on explique la méthode de caractéristique et on l'applique sur les équations aux dérivées partielles et en particulier les EDPs ordre un et deux dans R 2 . Le troisième chapitre présente la méthode de séparation des variables en appliquant sur l'équation de la chaleur, l'équation des ondes et l'équation de Laplace. Le quatrième chapitre présente la méthode des di érences nies appliquée sur les trois types d'équations aux Dérivées partielles elliptique, parabolique et hyperbolique en en dimension un et deux. En n, le cinquième et le dernier chapitre est dédié à la méthode des di érences nis appliquer sur les trois types d'équations aux Dérivées partielles elliptique, parabolique et hyperbolique (idem ci-dessus).