Équations et systèmes différentiels

Abstract

La notion d’´equation diff´erentielle apparaˆıt chez les math´ematiciens `a la fin du 17 `eme si`ecle. A cette ´epoque, les ´equations diff´erentielles s’introduisent en math´ematiques par les probl`emes d’origine m´ecanique par exemple : Mouvement du pendule circulaire, probl`eme du mouvement de deux corps s’attirant mutuellement ; suivant la loi de la gravitation newtonnienne, probl`eme de l’´etude de mouvement de corps ´elastiques (tiges, ressorts, cordes vibrantes), probl`eme de l’´equation de la courbe d´ecrivant la forme prise par une corde suspendue aux deux extr´emit´es et soumise `a son propre poids. Quelques notions acquises dans les ann´ees ant´erieures ont ´et´e utilis´ees, cependant je me suis efforc´e de limiter au maximum les rappels, afin de ne pas rompre une coh´esion indispensable `a l’eficacit´e. Ce polycopi´e comprend cinq chapitres, le premier est consacr´e aux notions fondamentales ainsi quelques types du premier ordre soit lin´eaires soit non lin´eaires. Deuxi`eme chapitre traite des ´equations diff´erentielles d’ordre deux, le troisi`eme chapitre ´etudie les ´equations diff´erentielles d’un cot´e th´eorique en introduisant le probl`eme de Cauchy ou probl`eme de condition initiale. Le quatri`eme envisage les syst`emes diff´erentiels lin´eaires et non lin´eaires en introduisant les notions de l’exponentielle d’une matrice et la notion de la r´esolvante. le dernier chapitre envisage quelques types de stabilit´e pour les syst`emes autonomes et syst`emes lin´eaires. Ce polycopi´e comprend un grand nombre d’exemples illustrant en d´etail les nouveaux concepts et r´esultats. Il contient ´egalement des exercices `a la fin de chaque chapitre avec des niveaux de difficult´es variables. Ce polycopi´e est destin´e aux ´etudiants de la 3 ann´ee licence ” Math´ematiques g´en´erales”.