L’intégrale au sens de Bochner

Abstract

L’intégration au sens de Bochner est utilisé dans plusieurs branches mathématiques comme la théorie de probabilités, Analyse fonctionnelle, équations différentielles dans des espaces vectoriels, théorie de semi-groupes pour opérateurs linéaires, ...A la fin du dix-neuviéme siècle, la théorie d’intégration de Riemann devient insuffisantes et ses limitations étaient apparentes alors plusieurs mathématiciens cèlèbres comme (Jardan, Borel, Young, ...) se mettent en devoir de la généraliser. C’est ainsi que la communauté mathé- matique adopta la théorie de Lebesgue, exposée dans une note fondatrice de 1901, puis développée dans le Cours Peccot en introduisant concept de mesure par Borel vers 1895. La théorie de la mesure et l’itégration de Lebesgue seront ensuite perfectionnées et généralisées par de nombreux mathématiciens du vingtiéme siècle, en particulier Carathéodory, Vitali, Radon, Riesz, Hausdorff, Kolmogorov et Besicovich (par ordre chronologique approximatif). Le cadre classique le plus simple pour définir une intégrale est celui des fonction en escalier sur un intervalle [a, b]. L’intégrabilitié au sens de Riemann impose des conditions relativement fortes : Une fonction f :→ R est inté- grable si et seulement si, pour tout β > 0 donné, on peut subdiviser l’intervalle [a, b] en sous-intervalles sur lesquels l’oscillation de la fonction f dépasse β soit arbitrairement petite. Plus tard, Lebesgue montrera qu’une fonction : [a, b] → R est Riemann intégrable si et seulement si l’ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle, au sens où on peut l’inclure dans une union d’intervalles ouverts dont la somme des longueurs est arbitrairement petite.