négalités Intégrales pour l’opérateur de Riemann-Liouville et certaines de ces généralisations

Abstract

Il est bien connu que les inégalités,les inégalités intégrales classiques sont un outil trés important dans l’analyse classique.Elles fournissent des bornes explicites pour une fonction inconnue et jouent un rôle fondamental dans les équations différentielles et intégrales. Une application de ces inégalités est la théorie des E.D.P (équations différentielles partielles). La plupart des cours de base en E.D.P contiennent l’inégalité de Bellman – Gronwall et rien de plus. Les cours avancés enseignent certaines classes d’inégalités liées á un sujet des E.D.P tels que les équations elliptiques, paraboliques et hyperboliques. Ce memoire comprend une introdction et trois chapitres. Dans le chapitre 1, nous donnons quelques définitions nécessaires et préliminaires mathématiques sur quelques espaces de fonctions tels que les espaces de Lebesgues ,espace des fonctions continues et l’espace des fonctions absolument continues.Aussi nous collectons soigneusement un certain nombre d’inégalités intégrales, y compris les inégalités intégrales célèbres par exemple celle de Young, de Holder et de Minkovsky . Un rappel de quelques notions de la théorie du calcul fractionnaire qui sont utili- INTRODUCTION 3 sées dans les chapitres qui suivent tels que les fonctions spéciales ou fonction d’Euler;la fonction Gamma et la fonction Beta,les intégrales de Riemann-Liouville et k− Riemann-Liouville (k > 0) et quelques une de leurs propriétés . Dans le chapitre 2, nous avons introduit une ídentité importante dite identité de Montgomery avec et sans poids.Nous avons établi des inégalités dites fractionnaires pour les intégrales de Riemann-Liouville via cette identité avec et sans poids . Au chapitre 3, nous développons des généralisations des résultats présentés dans le chapitre deux ,en considérant un opérateur intégrale fractionnaire généralisant celui de Riemann-Liouville . Nous présentons l’identité de Montgomery avec et sans poids pour l’intégrale fractionnaire d’une fonction f par rapport á une autre fonction g oú la fonction g est une fonction croissante á dérivée g0 continue.