La Méthode des éléments finis et ses Applications aux EDP

Abstract

La méthode des éléments finis est largement utilisée pour l’analyse des problèmes d’ingé- nierie, non seulement en raison de son aptitude à résoudre une variété de problèmes physiques formulés en termes d’équations aux dérivées partielles, mais aussi en raison de sa capacité à gérer des géométries complexes et des conditions aux limites. Cependant cette méthode repré- sente quelques points faibles, qu’il serait faux de sous-estimer : — La méthode des éléments finis s’appuie sur une formulation variationnelle de l’équation aux dérivées partielles, mais Il n’existe pas forcement de formulation variationnelle pour toute équation aux dérivées partielles. — La méthode n’est pas bien adaptée à la résolution numérique d’équations non linéaires. — Complexité de mise en oeuvre de la méthode. — Grand coût en temps de calcul et mémoire. Il existe bien d’autres méthodes numériques de résolution d’équations aux dérivées partielles comme les méthodes de volumes finis, d’éléments finis de frontière (ou méthode intégrale), spectrale, de Fourier, etc. Parlons par exemple de la méthode de volumes finis, c’est la méthode de choix pour les équations de conservation non linéaires. Cette méthode consiste à intégrer, sur des volumes élémentaires, les équations écrites sous forme intégrale. Elle est plus avantageuse que la méthode des éléments finis puisque sa mise en oeuvre est simple avec des volumes élémentaires rectangles, et elle permet de traiter des géométries plus complexes avec des volumes de forme quelconque. C’est une méthode particulièrement bien adaptée aux équations de la mécanique des fluides.