Théorèmes du point fixe et applications aux équations différentielles.

Abstract

Daaux équations différentielles. ns ce mémoire, on a aborder quelques théorèmes du point fixe et applications Ces théorèmes représentent d’importants outils mathématiques de base pour montrer l’éxistence et l’unicité de solutions et trés utilisées dans l’analyse non linéaire appliquée aux équations différentielles ordinaires [8, 10, 6]. La théorie du point fixe est basée sur le théorème du point fixe qui à la formulation génèrale suivante : T : X → X, tel que X un espace de Banach et T une application (ou bien un opérateur ) vérifiant certaines hypothèses (continuité, compacité, contraction), alors il existe x ∈ X, tel que T x = x c’est-à-dire : T admet un point fixe. Ce mémoire est composé en trois chapitres comme suit : Chapitre 1 : Nous rappelons quelques définitions et notions de l’analyse fonctionnelle qui nous seront indispensables à la compréhention de la suite de ce mémoire. Chapitre 2 : Nous présentons des théorèmes principales du point fixe dans les deux espaces métriques et topologiques . Un de ces théorèmes est le théorème de l’application -contractante prouvé par Ba- 2 nach dit qu’une contraction d’un espace métrique complet dans lui-même qui assure l’éxistence d’un unique point fixe . Ensuite le théorème du point fixe de Schauder qui est au fait une extension de celui de théorème de Brouwer en dimension infinie est plus topologiques et affirme qu’une application continue sur un convexe compact admet un point fixe qui n’est pas nécessairement unique . Chapitre 3 : Nous sommes intéressé dans dernier chapitre aborder quelques applications des théorèmes cites ci-dessus aux équations différentielles . On commence par application de Schauder et ensuite application de Problème de Cauchy pour les équations différentielles ordinaires et étant donnée une condition initiale (t0,x0) et équation différentielle x0(t) = f(t,x(t)), (t,x(t)) ∈ U. Une autre application de théorème de Picard est la démonstration du théorème d’inversion locale.