Sur un problème hyperbolique non linéaire.

Abstract

Ce mémoire est consacré à l’étude d’un problème hyperbolique semi linéaire intervenant en mécanique quantique relativiste. Le but de ce travail est de reprendre, avec un peu de détails la technique de résolution d’équations aux dérivées partielles, dite de Faedo-Galarkin, présentée par J. L. Lions dans [4]. Cette technique consiste à approcher le problème initial, qui est en dimension infinie, par des problèmes en dimensions finies ; plus au moins simples à résoudre. La solution du problème initial est obtenue par passage à la limite en utilisant des résultats de compacité, à savoir de critère de compacité faible ∗ et le théorème de compacité de Rellich-Kondrachov. Ce mémoire est constitué de trois chapitres et une annexe. Dans le premier chapitre, on rappelle certaines notions classiques, telles que la topologie faible, la topologie faible ∗, les injections compactes et certaines propriétés des espaces réflexifs ou séparables. Dans le deuxième chapitre, nous rappelons les espaces de Sobolev d’ordre entier, les espaces de Lebesgue des fonctions vectorielles et les distributions à valeurs vectorielles et leurs propriétés.