Etude numérique des équations différentielles

Abstract

Dans ce mémoire, nous avons étudié les équations différentielles ordinaires (EDO) sous deux aspects : théorique et numérique. Sur le plan théorique, nous avons abordé les fondements mathématiques des EDO : • Les définitions formelles des équations différentielles et des .problèmes de Cauchy • Les conditions d’existence et d’unicité des solutions, notamment à travers les théorèmes de Cauchy-Lipschitz et de Picard. • Le rôle des fonctions lipschitziennes dans la stabilité des solutions. Sur le plan numérique, nous avons exploré différentes méthodes d’approximation des solutions : • Méthode de Picard : utile pour les démonstrations théoriques et la convergence. • Méthode d’Euler : simple à implémenter, mais peu précise. • Méthodes de Taylor d’ordre supérieur : permettent une meilleure précision mais exigent des dérivées successives. • Méthodes de Runge-Kutta (ordres 2, 3 et 4) : elles offrent un bon compromis entre précision et complexité, et sont largement utilisées dans les logiciels modernes comme MATLAB. Ainsi, nous avons démontré que lorsque les solutions exactes ne sont pas accessibles, les méthodes numériques deviennent essentielles pour obtenir des approximations utiles dans la pratique.