QUELQUES RÉSULTATS DE MOYENNISATION POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLE

Abstract

Les méthodes mathématiques utilisés en physique conduisent le plus souvent à des problèmes pour les quels il n’est pas possible de donner des solutions explicites. Les solutions numériques sont présents ou quand des domaines de calcule sont très grands. Dans de telles situations, on peut tenter d’élaborer des modèles plus simples, soit en annulant un paramètre, soit en se limitant à l’étude d’un domaine plus petit : les deux simplifications pouvant être combinées. Lorsqu’on annule un petit paramètre, noté de façon symbolique ε, il se peut que la solution initial tende uniformément vers la solution du problème réduit quand ε tend vers zéro. On est alors confronté à un problème dit de perturbation régulière. Considérons une équation différentielles dépendant d’un petit paramètre ε. Le théorème de la dépendance continue et même différentiable par rapport aux paramètres est également un puissant instrument de calcul. En effet, admettons que nous ayons résolu un système d’équation différentielle pour une certaine valeur du paramètre. On peut alors trouver une solution approchée pour des valeurs proches du paramètre. Pour cela il nous suffira de calcule la valeur de la dérivée de cette solution par rapport au paramètre ( pour la quelle nous savons résoudre ce système). Cette dérivée, qui est une fonction du temps, est elle même solution d’une certaine équation différentielle qu’on appelle équation aux variations. Si la perturbation est de l’ordre de ε. On détermine cette quantité approximativement par la résolution des équations aux variations pour la solution non perturbée. Mais si l’on s’intéresse au comportement de la solution sur des intervalles du temps de l’ordre de 1/ε. Introduction 6 De nombreuses méthodes on été développés pour tenter de résoudre des problèmes de perturbation. Parmi les méthodes les plus célèbres et les plus importantes figue la méthode de moyennisation (Averaging Theory). Cette méthode consiste à remplacer l’équation perturbée par une équation moyennée plus simple, dont les solutions sont étudiées sur des intervalles de temps de l’ordre 1/ε ( c’est-à-dire sur des intervalles de temps lent de l’ordre 1). Ensuite on dire des conclusions sur le comportement du mouvement perturbe pendant des intervalles de temps de l’ordre 1/ε. Dans ce mémoire, on va présenter la méthode de moyennisation dans les équations différentielles ordinaires ( ODE ).